1、首先，在Mathematica中我们可以直接使用FindInstance求出同余方程特解，或者使用Reduce尝试嫫绑臾潜求通解。其中形如X^n≡c(mod m)，c与m互素的这一类方程，其背后的原理是求出x^n≡c(mod m)的一个特解，然后求出y^n≡1(mod m)的通解，相乘即得到原方程全部解。
2、而阶数的数学定义如图所示。注意a和m要互素。互素时A集合一定非空。阶数一定存在。
3、在Mathematica中，可以使用PowerMod[x,n,m]代替Mod[x^n,m]，它们含义相同，但是幂模的计算可以比模余优化一些。
4、如图是手算阶数的过程。依次计算幂模，带入n为1~9，发现当n=6时，幂模是1.也就是说x模m(5模7)的阶数是6.
5、如图是使用Mathematica的乘法阶数函数MultiplicativeOrder直接计算阶数的过程。
6、如果a与m互素，那么a^k与m同样互素。要计算a^k模m的乘法阶数，首先我们可以使用Mathematica暴力求解如图。
7、我们也可以根据推导得出a^k模m的阶数为L/GCD[L,k]，其中L是a模m的阶数。带入比较，与暴力解法所得阶数相同。
